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A-Level数学丨S1中的Mutually Exclusive和Independent是什么?

【洪东】  2019-05-15 发布

学习A-level数学的同学都知道,A-level阶段的数学总共包含6个单元。其中S1和S2是有关概率统计的,下面我们将对S1和S2单元进行简单的介绍~


一、SI:

第一部分是和数据有关的Data-location(mode,median,mean),Data-dispersion(range,interquartile,range,variance),Data-representation 和Skewness;

第二部分是概率,这部分内容主要涉及到Venn图和概率树,利用者两种工具来求一些事件的概率,其中条件概率是必考的一个重点,也是学习中的难点;

第三部分是离散随机变量,这部分的内容比较简单;

第四部分是Correlation and Regression,这两部分内容一般都是结合起来考试;

第五部分内容正态分布,利用正态分布的特点来求概率。


二、S2:

第一部分是Binomial distribution、Poisson distribution和Normal approximation;

第二部分是连续随机变量和连续一致随机变量;

第三部分内容是抽样和抽样分布;

第四部分内容是假设检验,这块是重点也是难点。


今天,我们专门来讲讲A-level数学S1中的Mutually Exclusive和Independent。这些年傻傻分不清的Mutually Exclusive和Independent到底都是些神马?


概率学中,判断两个Event之间到底是Mutually Exclusive的关系还是Independent关系,这是许多同学们分不清楚的一个概念问题。今天我们大概用一个投掷硬币的Experiment,一次性将这两个概念彻底分清。


Mutually Exclusive所代表的含义是:两个Event不可能同时发生。如果我们用投掷硬币来看待MutuallyExclusive的概念的话。我们可以建立以下概率模型:

Experiment 1:投掷一个硬币

Event:Event H – 结果是硬币头像面朝上;Event T – 结果是硬币反面朝上

则,两个Event(H和T)之间的概率关系为,Mutually Exclusive。为什么呢?因为我们不能对一枚硬币要求太高,最后它着陆的时候,两面一定是不会一起出现哒。但是,希望同学们不要去钻牛角尖,想象各种硬币站立的情况,那不在我们测试范围内。所以通俗点来说,Mutually Exclusive是一个非黑即白的世界,有我没他,有他没我。两个人Event不会同时发生,也没有任何的交集。


那么同样是扔硬币实验,怎么样的情况下才是Independent呢?首先,我们看一下Independent的概念是什么,如果两个Event它们符合Indep的关系,则说明,如果已发生第一个Event,那么第二个Event发生的概率完全不受第一个Event的影响,反之亦然。

Experiment 2:投掷两个硬币

Event:Event 1 – 第一个硬币的Outcome;Event2 – 第二个硬币对应的Outcome

在这个实验中,不论第一个硬币扔出的结果是头像朝上还是反面朝上,那么对第二个硬币的投掷结果都没有任何影响,第二个硬币该头像朝上还是头像朝上。同时,反过来看,第二个硬币的结果如何也对第一个硬币的结果毫无影响,所以这个实验中,这两个Event对应的关系是Independent。


最后做一个通俗点的总结,Independent的世界里,两个Event同时在发生,但是它们两个谁也不能影响谁。


现在,经过上面的讲解,是时候附上一点点干公式,用来统一记忆两种关系情况下对应的情况。

如果Event A 与 Event B是MutuallyExclusive:

P(A∩B)=0

P(A∪B)=P(A)+P(B)

P(A|B)=0

如果Event A 与 Event B是Independent:

P(A∩B)=P(A)*P(B)

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A|B)=P(A)


那么,很多同学搞不清楚的问题是,MutuallyExclusive与Independent之间有没有关系?(*如果大家只想搞清楚这两个的概念,那么看到这里就可以打住了,如果没有消化好上面的就直接看下面的内容容易无法理解导致走火入魔)答案是,它们之间勉强可以说是有那么一点点的互相排斥关系(以下情况,Event的概率为非0值)。


通过上面的公式我们可以发现,如果两个Event它们之间是Mutually Exclusive,那么它们的交集必须为0,这说明什么,这说明这两个Event交集不等于各自乘积,所以它们一定不是Independent的关系。

与此同时,如果这两个Event,它们之间是Independent关系,那么说明这两个Event乘积不为0,所以它们不可能是Mutually Exclusive关系。


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